主成分回帰 (PCR)

主成分回帰の原理

主成分回帰（PCR ：Principal Components Regression）は，３つのステップに分解できる回帰手法である：

1. 最初のステップは，説明変数の表で主成分分析（PCA)を実行することである，,
2. そして，選択された成分の上で，線形回帰とも呼ばれる最小２乗回帰（OLS 回帰）を実行する，
3. 最後に，入力変数に対応するモデルのパラメータを計算する．

主成分回帰モデル

PCA は，変数によって記述されるn 個のオブザベーションを持つ表X を，q 個の成分で記述されるn 個のスコアを持つ表S に変換することを可能にする．ここで q は p 以下で， (S’S) は反転可能である．変数Y に最も相関するr 個の成分のみがOLS 回帰ステップのために保持されるように，成分の上でさらなる選択が適用される．これにより，表 R が得られる．

Y と R の表の上でOLS 回帰が実行される．回帰から得られたパラメータによる解釈問題を避けるために， XLSTAT は，入力変数に対応するパラメータと信頼区間を得るために，結果を元の空間に変換して戻す．

PCR の結果: 相関チャートとオブザベーション・チャートとバイプロット

PCR はPCA上で構築されるので，伝統的な回帰を超える PCR の大きな利点は，データ構造を記述するグラフが利用可能なことである．相関および負荷量プロットのおかで，変数間の関係性を調査することが簡単である．それは，説明変数間および説明変数と従属変数の間の関係性である．得点プロットは， 標本の近接およびデータ集合の構造に関する情報を提供する．バイプロットは，これらのすべての情報を１つのグラフにまとめる．

主成分回帰による予測

主成分回帰は，予測モデルを構築するためにも使用できる． XLSTAT は，新しい標本の値を予測することを可能にする．