順序ロジット・モデル

順序ロジット・モデルの原理

順序ロジット・モデル（ordinal logit model）は、順序変数をモデルできるのでよく使用される手法である。これは調査の分析（回答者が、満足しない、満足した、とても満足した）でよく使用される。原理は、2値および多項ロジット・モデルと同じである。

順序ロジット・モデルの原理は、水準の累積確率を説明変数に関連づけることである。

順序ロジット・モデルのためのモデル

ロジスティック回帰および 線形回帰 は、一般化線形モデル（GLM ：Generalized Linear Models）と呼ばれるモデルの種類に属する: 両方とも、イベントが説明変数の線形結合に関連づけられる。

確率 p を説明変数に関連づけるために使用される最も共通の関数は、ロジット関数（我々は順序ロジット・モデルに言及する）および標準正規分布関数（順序プロビット・モデル）である。

モデルの解析的な式は、以下のとおりである:

• Logit: p = exp(βX) / (1 + exp(βX))
• Probit: p = 1/√2π ∫_-∞...βX exp(-x²/2)∂x

調査されているイベントの分布の知識が、標本の尤度を与える。モデルのβ パラメータ（線形関数の係数）を推定するために、我々は尤度関数を最大化する。

線形回帰とは異なり、厳密な解析解は存在しない。したがって、繰り返しアルゴリズムが使用される。XLSTATはNewton-Raphson アルゴリズムを使用する。ユーザーは、もし必要があれば、繰り返しの最大数および収束しきい値を変更できる。

順序ロジット・モデルでは、j以下の水準への回答の累積確率をモデルする。我々は確率P(y を用いる。

順序ロジット・モデルに関するXLSTAT の結果

XLSTAT は、正しく分類されたオブザベーションのパーセンテージを計算するために用いる分類表（混同行列ともいう）を表示できる。

XLSTATにおけるロジスティック回帰の結果

• 変数選択の要約:  選択手法が選ばれた場合、XLSTATは選択の要約を表示する。ステップワイズ選択については、各ステップに対応する統計量が表示される。p から q の値をとる変数の数についてベスト・モデルが選択されると、変数の数のそれぞれでベスト・モデルが、対応する統計量とともに表示され、選ばれた基準でのベスト・モデルが太字で表示される。
• 適合度係数: この表は独立モデル（説明変数の線形結合が定数に削減された場合に対応）および修正済みモデルに関する一連の統計量を表示する。
  • オブザベーション: オブザベーションの合計数（オブザベーションの重みの合計）が考慮に入れられる;
  • 重みの合計: オブザベーションの合計数（回帰において重みを掛けたオブザベーションの重みの合計）が考慮に入れられる;
  • DF: 自由度;
  • -2 Log(Like.): モデルの関連づけられた尤度関数の対数;
  • R² (McFadden): R²のような係数で、 0 から 1でモデルがどれだけよく修正されたかを定量化する。この係数は、1 から独立モデルの尤度に対する修正モデルの尤度の比率を引いたものに等しい;
  • R²(Cox and Snell): R²のような係数で、  0 から 1でモデルがどれだけよく修正されたかを定量化する。この係数は、 1 から独立モデルの尤度の2/Sw乗に対する修正モデルの尤度の比率を引いたものに等しい。ここで Sw は重みの合計;
  • R²(Nagelkerke): R²のような係数で、  0 から 1でモデルがどれだけよく修正されたかを定量化する。 この係数は、CoxとSnellのR² を1から独立モデルの尤度の2/Sw乗を引いたもので割った比に等しい;,
  • AIC: 赤池の情報量基準;
  • SBC: Schwarzのベイジアン基準。
• 帰無仮説 H₀: Y=p₀の検定: H0 仮説は、説明変数の値が何であろうと確率p0 を与える独立モデルである。我々は修正モデルがこのモデルよりも有意に強力であるかどうかを確認しようとする。3種類の検定がある: 尤度比検定 (-2 Log(Like.))、スコア検定、Wald検定。この3つの統計量は、自由度が示されるカイ2乗分布に従う。
• Type III 分析: この表は、説明変数がたった1つだけの場合に有用である。ここで、修正モデルが、問題の表の行中の変数が消去されたテスト・モデルに対してテストされる。  確率 Pr > Wald が設定されたしきい値（通常、0.05）より有意に小さいなら、モデルの修正へのその変数の寄与度は有意である。それ以外は、モデルから除去できる。
• モデル・パラメータ: 順序ロジット・モデルでは、従属変数の各カテゴリごとに、パラメータの1つの集合と1つの切片がある。
• 分類表: 両方のカテゴリで正しく分類されたオブザベーションのパーセンテージを示す表を表示するには、このオプションを有効にする。検証サンプルが抽出された場合は、この表は検証データについても評される。
• 質的変数のカテゴリの比較: 1つまたは複数の質的説明変数が選択された場合、さまざまな質的変数のカテゴリからの対でとられたパラメータについて、等質性の検定の結果が表示される。