分散不均一性（HETEROSCEDASTICITY）検定

分散不均一性とは?

不均一分散の概念 - 均一性であることの反対 – は，統計，とくに線形回帰や時系列解析の文脈で，しばしばモデリングにおける基本仮定の1つが分散が均一であり，モデルの誤差が一様に分布しているということだが，誤差またはモデルの分散がすべてのオブザベーションで等しくはないというケースを説明するために使用される．

線形回帰分析では，モデルの誤差（残差ともいう）が均一でないという事実は，最小2乗法 (OLS)を用いて推定されるモデル係数が，非バイアスでもなければ，最小の分散を持つそれらでもないという結論を意味する．それらの分散の推定は信頼できない．

XLSTATでの分散不均一性の確認の仕方

分散が均一でない（説明変数に対する残差の表現が不均一分散を明らかにする）ことが疑われる場合，したがって，不均一分散の検定を実行することが必要である．以下の帰無仮説と対立仮説による複数の検定が開発されてきた：

• H0 : 残差が均一である．
• Ha : 残差が不均一である．

Breusch-Pagan検定

この検定は，Breusch and Pagan (1979)によって開発され，その後， Koenker (1981) によって改良された- そのため，この検定は，Breusch-Pagan and Koenker 検定とも呼ばれる – この検定は，線形回帰のパラメータの伝統的な推定量が信頼できなくなる不均一分散のケースを識別することを可能にする．e がモデルの誤差のベクトルであるとすると，帰無仮説H0 は ，次式のように書ける:

H0 : E(e2) = σ2

たくさんの関数形式に変換できる2次誤差が説明変数から独立であることを検証するために，最も簡単な方法は，説明変数による2乗誤差を回帰することである．データが等分散である場合，決定係数R2 は 0に等しくないはずである．H0 が棄却されない場合，我々は不均一分散を結論づけでき，それが存在するなら，使用されている関数係数をとらない． H0 が採択されない場合，不均一分散は問題ではないことを実践は示している． H0 が棄却される場合，不均一分散があり，上記で説明された関数形式をとる．

この検定で使用される統計量は，Koenker (1981)によって提案されている:

LM = nR2

ここでLMは Lagrange multiplier（ラグランジュの未定乗数）の略である．この統計量は， 漸近的に自由度p を持つカイ2乗分布に従う利点がある．ここでp は，説明変数の数である．

帰無仮説が棄却される場合，回帰を行う前，またはモデルを使用する前に，分散の変動を考慮に入れるために，データを変換する必要がある．

White 検定と修正済み White 検定(Wooldridge)

How to detectこの検定は，線形回帰の伝統的なパラメータ推定が信頼できなくなる不均一分散のケースを識別するために， White (1980) によって開発された．このアイデアは，Breusch and Paganのそれに似ているが，不均一分散がとる形式に関しては，より弱い仮定に依拠している．これは，説明変数および後者の2乗および積による2次誤差の回帰で生じる． 使用する統計量は，Breusch Pagan検定と同じでるが，より多くのレグリッサーの存在のせいで，ここでは，カイ2乗分布に2p+p(p-1)/2* の自由度がある．

自由度を多く失いすぎることを避けるために，Wooldrigde (2009) は，モデルの予測値とそれらの2乗によって2乗誤差を回帰することを提案した．これは，カイ2乗の自由度の数を 2 に減少させる．

XLSTATで分散不均一性を適合させる方法

Newey West およびその他の推定量

XLSTATは，分散不均一性の補正を適用できる．この目的のために複数の推定量 (Newey West, HC0, HC1,など) が線形回帰ツールで利用可能である．

White (1980) に続いて複数の著者が，線形回帰の計算から得られる残差と中心化てこ比を使用して，共分散の古典的な推定量を修正する方法を探索した (レビューについては MacKinnon (1985) and Zeileis (2006) を参照)．古典的な線形回帰の仮定が成り立たない場合，係数の推定量は変更されないが，ベータ・パラメータの簡略化された記述は不可能で，一般式に戻さざる得ない:

Var (β) = (XtX)-1 (Xt ΩX)(XtX)-1

従属変数の変換

分散不均一性を補正するために，XLSTATの変数変換ツールを用いて，Box-Cox変換を適用できる．

重みつき回帰

分散不均一性を取り扱うために重みつき回帰を適合することもできる．XLSTATでのすべての回帰モデルは，そのダイアログ・ボックスから重みを選択することができる．

XLSTATでの分散不均一性検定の結果

出力は以下を含む:

• 要約統計の表
• 残差プロット
• 選択された検定の結果 (検定の統計量，臨界値，p値，アルファ)

分散不均一性検定に関するチュートリアル

Excelで分散不均一性検定を実行する方法について知りたい場合は，XLSTATを用いてExcel内で分散不均一性検定をセットアップして解釈する方法に関するチュートリアルを参照のこと．