Transformations des séries temporelles

XLSTAT offre plusieurs possibilités pour transformer une série Xt en une série Yt, (t=1,…,n).

Transformation Box-Cox des séries temporelles

La transformation Box-Cox permet d'augmenter la normalité des données; l'équation de Box-Cox est définie par :

Yt = [ ( X2t - 1 ) / λ , (Xt > 0, λ ≠ 0 ) or (Xt ≥ 0, λ > 0 ) ; ln( Xt ), (Xt > 0, λ = 0) ]

XLSTAT accepte soit une valeur fixée pour λ, soit de trouver la valeur optimale permettant de maximiser la vraisemblance pour le modèle linéaire simple ayant le temps pour variable explicative.

Différenciation des séries temporelles

La différenciation permet de supprimer les tendances et la saisonnalité, et d'obtenir la stationnarité des séries. L'équation de différenciation est donnée par :

Yt = (1-B)d (1-Bs)D Xt où d est l'ordre de différenciation pour la composante tendancielle, s est la période de la composante saisonnière, et D est l'ordre de la composante saisonnière. B est l'opérateur mathématique de décalage, défini par :

BXt = Xt-1

Les valeurs de (d, D, s) peuvent être choisies par essais successifs, ou suggérées par l'analyse descriptive des séries (fonctions FAC ou FACP par exemple). Des valeurs communes sont (1,0,0), (1,1,s), (2,1,s). s vaut 12 pour des données mensuelles avec une saisonnalité annuelle, 0 lorsqu'il n'y a pas de saisonnalité.

Detrending et désaisonnalisation des séries temporelles

Detrending et désaisonnalistion sont des méthodes de transformation qui utilise le modèle classique de décomposition donné par :

Xt = mt + st + εt

où mt est la composante tendancielle, et st la composante saisonnière et εt un bruit blanc suivant une loi N(0,1). XLSTAT permet d'ajuster ce modèle en deux étapes séparées ou successives :

Ajustement du modèle de detrending suivant

X t = m t + ε t = Σi=0..k aiti + εt

où k est le degré du polynôme. Les paramètres ai sont obtenus par ajustement d'un modèle linéaire sur les données. La série transformée s'écrit :

Y t = ε t = X t - = Σi=0..p aiti

Ajustement d'un modèle de désaisonnalisation

Xt = st + εt = µ + bi + εt, i = t modulo p

où p est la période. Les paramètres bi sont obtenus par ajustement d'un modèle linéaire aux données. La série transformée est donnée par : Yt = εt = Xt - µ - bi

Remarque : il existe de nombreuses autres transformations possibles. Des filtres linéaires peuvent aussi être utilisés. Un lissage par moyenne mobile peut être utilisé pour filtrer des bruits. Les méthodes de lissage sont proposées dans la section Lissage.