Lissage des séries chronologiques

Plusieurs méthode lissage sont disponibles dans XLSTAT-Forecast :

Lissage exponentiel simple

Ce modèle est aussi parfois appelé lissage exponentiel simple de Brown, ou le modèle à moyenne mobile exponentiellement pondérée. Le lissage exponentiel simple permet de prédire une valeur en fonction des données passées, en donnant aux données un poids d'autant plus faible qu'elles correspondent à un passé éloigné. La pondération évolue de façon exponentielle, d'où le nom du modèle. En matière de prévision, ce modèle est assez limité, puisque les prévisions sont constantes au-delà de n+1.

Lissage exponentiel double

Ce modèle est parfois appelé Lissage exponentiel double de Brown ou lissage exponentiel linéaire de Brown. Les prévisions tiennent ici compte d'une tendance observée sur les données précédentes.

Lissage exponentiel linéaire de Holt

Ce modèle est parfois appelé algorithme non-saisonnier de Holt-Winters. Comme le précédent, il permet de prendre en compte une composante tendancielle, mais avec plus de souplesse, car il fait intervenir un paramètre de plus. Les prévisions pour t>n prennent en compte la composante tendancielle.

Modèle de Holt-Winters saisonnier additif

Cette méthode permet de prendre en compte une tendance qui varie avec le temps, et une composante saisonnière de période p. Les prévisions tiennent compte de la tendance et de la saisonnalité. Ce modèle met en jeu trois paramètres. On l'appelle additif car la composante saisonnière est stable dans le temps.

Modèle de Holt-Winters saisonnier multiplicatif

Cette méthode permet de prendre en compte une tendance qui varie avec le temps, et une composante saisonnière de période p. Les prévisions tiennent compte de la tendance et de la saisonnalité. Ce modèle met en jeu trois paramètres. On l'appelle multiplicatif car la composante saisonnière varie avec le temps. Plus les écarts entre les observations sont importants, plus la composante saisonnière augmente.

Remarque 1 : pour les modèles définis ci-dessus, XLSTAT estime les paramètres en cherchant la solution du minimum de la somme du carré des erreurs (SCE). Il est aussi possible de rechercher la solution qui maximise la vraisemblance, sachant qu'en dehors du modèle de Holt-Winters multiplicatif, il est possible d'exprimer les modèles sous la forme d'un modèle ARIMA. Par exemple, le lissage exponentiel simple est équivalent à un modèle ARIMA(0,1,1) et le modèle de Holt-Winters additif peut s'écrire sous la forme d'un modèle ARIMA (0,1,p+1)(0,1,0) p. Si vous préférez maximiser la vraisemblance, nous vous invitons à utiliser la procédure ARIMA de XLSTAT.

Remarque 2 : pour les modèles ci-dessus, des valeurs initiales pour S, T et D, sont nécessaires. XLSTAT offre différentes options, y compris du backcasting, pour définir les valeurs initiales. Lorsque le backcasting est choisi, l'algorithme renverse la série, prend des valeurs initiales correspondant à l'option de base Y(x), puis calcule des estimateurs, qui sont ensuite utilisés comme valeurs initiales sur la série originale.

Moyenne mobile

Cette moyenne permet de prendre en compte de manière simple et contrôlée des observations passées pour prédire le futur. Néanmoins l'utilité de la méthode réside plus dans sa nature de filtre, permettant de retirer à une série son bruit de fond, et de faire alors ressortir les grandes tendances. Alors que pour les méthodes précédentes, toute observation a une influence, aussi légère soit-elle, sur les prévisions suivantes, ici, le nombre d'observations du passé prises en compte est limité à q. Les moyennes mobiles servant souvent de filtre, on appelle q la bande passante.

Lissage de Fourier

Le principe du lissage de Fourier est d'effectuer une transformée de Fourier, et ne retenir qu'une partie du spectre, puis de faire une transformée inverse afin d'obtenir la série lissée.

Résultats du lissage avec XLSTAT

  • Coefficients d'ajustement : dans ce tableau sont affichés les coefficients d'ajustement du modèle.
  • Paramètres du modèle : dans ce tableau sont affichés les estimateurs des paramètres du modèle.
  • Série avant et après lissage : dans ce tableau sont affichés la série originale et la série lissée ainsi que les résidus et les intervalles de confiance dans le cas où une validation ou des prédictions ont été demandées.
  • Graphiques : deux graphiques sont affichés. Le premier graphique permet de visualiser les données, le modèle, les prévisions (validation et nouvelles observations) de même que les intervalles de confiance sur les prévisions. Le second graphique permet de visualiser les résidus du modèle.