偏最小２乗回帰 (PLS)

偏最小２乗回帰（PLS : Partial Least Squares regression ）は，速く，効率的で，共分散に基づく基準に最適である．これは，変数の数が多く，説明変数が相関している場合に推奨される．

最小２乗回帰の原理

PLS 回帰のアイデアは，p 個の変数で記述されるn 個のオブザベーションを持つ表から開始して， PLS1 および PLS2アルゴリズムにより， h 個の成分（ h<p）の集合を作成することである．

いくつかのプログラムでは，PLS1 と PLS2を区別している．PLS1 は，従属変数が1つだけの場合に対応する．PLS2 は，複数の従属変数がある場合に対応する．XLSTAT で使用するアルゴリズムは， PLS1 を 単にPLS2の特殊ケースとして扱う．

偏最小２乗回帰モデルの式

 OLS および PCR 法の場合，モデルが複数の従属変数について計算されることが必要な場合，モデルの計算は，単に， 従属変数 の表Yの列でループになっているだけである．PLS回帰の場合は，Y の共分散構造も計算に反映される．

PLS 回帰モデルの式は次のように書かれる：

Y = ThC’h + Eh = XWh*C’h + Eh = XWh (P’hWh)-1 C’h + Eh

ここで Y は従属変数の行列， X は説明変数の行列， Th, Ch, W*h , Wh および Ph, は，PLS アルゴリズムによって生成された行列， Eh は残差の行列である．

X上のYの回帰係数の行列Bは， PLS 回帰アルゴリズムで生成されたh 個の成分を持ち，次次式で与えられる：

B = Wh(P’hWh)-1C’h

注意: PLS 回帰は， OLS および PCR が行うのと同様に，線形モデルを導く．

PLS 回帰の結果: 相関, オブザベーション・チャートおよびバイプロット

伝統的な回帰を超える PLS 回帰の大きな利点は，データ構造を記述するグラフが利用可能なことである．相関プロットと負荷量プロットのおかげで，変数間の関係性を調査することが簡単である．それは説明変数間または従属変数間，さらに説明変数と従属変数の間の関係性である． 得点プロットは，標本の近接とデータ集合の構造に関する情報を提供する．バイプロットは，これらのすべての情報を１つのグラフにまとめる．

偏最小２乗回帰による予測

PLS 回帰は，予測モデルを構築するためにも使用される． XLSTAT は，新しい標本の値を予測することを可能にする．

 PLS 回帰に関する一般的注記

PCA（PCRでの） または PLS 回帰から得られる成分の数が，説明変数の数と等しければ，この3つの手法- 偏最小２乗回帰，主成分回帰，最小２乗回帰- は同じ結果を提供する．

PLS 回帰から得られる成分は，可能な限りYを説明するように構築されるが，一方， PCRの成分は，可能な限りXを説明するために構築される． XLSTAT は， Yと最も相関している成分の選択を可能にすることにより，PCRのこの欠点を部分的に補償することを可能にしている．