Generalisierte Strukturkomponentenanalyse ( GSCA )

GSCA ist ein auf Komponenten basierendes Strukturgleichungsmodell und kann zur PLS Pfadmodellierung verwendet werden.

Dieses Verfahren von Hwang und Takane (2011) ermöglicht das Optimieren einer globalen Funktion mithilfe des ALS-Algorithmus (Alternating Least Square, alternierende kleinste Quadrate).

GSCA ist ein Bereich der Komponentenanalyse. Hier werden wie bei PLS Komponenten durch Faktoren ersetzt. Im Gegensatz zu PLS verfügt GSCA jedoch über ein globales Optimierungskriterium der letzten Quadrate, das gleichmäßig minimiert wird, um Schätzungen für die Modellparameter zu erhalten. GSCA ist dadurch mit einem Gesamtmaß für die Modellanpassung ausgestattet, wobei gleichzeitig alle Vorteile von PLS erhalten bleiben (z. B. weniger beschränkte Annahmen über die Verteilung, keine ungenauen Lösungen und eindeutige Schätzungen des Komponentenwerts). Zusätzlich verarbeitet GSCA im Vergleich zu PLS vielfältigere Pfadanalysen.

 Z sei eine N x J-Matrix mit beobachteten Variablen. Angenommen, jede Spalte von Z ist mit einer Varianz von eins zentriert und skaliert. Das GSCA-Modell kann dann wie folgt angegeben werden

ZV = ZWA + E,

P = GA + E,    (1)

wobei P = ZV und G = ZW ist. Unter (1) ist P eine N x T-Matrix aller endogen beobachteten und zusammengesetzten Variablen, G eine N x D-Matrix aller exogen beobachteten und zusammengesetzten Variablen, V eine J x T-Matrix der Komponentengewichte für die endogenen Variablen, W eine J x D-Matrix der Komponentengewichte für die exogenen Variablen, A eine D x T-Supermatrix, die aus einer Matrix mit Komponentengewichtungen besteht, welche die Komponenten den beobachteten Variablen zuordnen, mit C bezeichnet, zusätzlich zu einer Matrix von Pfadkoeffizienten zwischen Komponenten, mit B bezeichnet, das heißt A = [C, B] und E ist eine Matrix der Residuen.

Wir schätzen die unbekannten Parameter V, W und A so, dass die Summe der quadrierten Residuenwerte E = ZV - ZWA = P- GA so klein wie möglich ist. Für die Minimierung gilt daher

f = SS(ZV - ZWA)

                    = SS(P- GA),    (2)

hinsichtlich V, W und A, wobei SS(X) = trace(X’X). Die Komponenten in P und/oder G werden für eine bessere Identifizierung standardisiert.

(2) kann nicht auf analytische Weise gelöst werden, da V, W und A Null oder ein fixes Element enthalten können. Zum Minimieren wird stattdessen ein ALS-Algorithmus entwickelt (de Leeuw, Young, & Takane, 1976) (2). Im Allgemeinen kann der ALS-Algorithmus als Sonderform des FP-Algorithmus betrachtet werden, wobei der Fixpunkt ein stationärer (Häufungs-)Punkt einer zu optimierenden Funktion ist.

Der vorgeschlagene ALS-Algorithmus besteht aus zwei Schritten: Im ersten Schritt wird A mit fixen V- und W-Werten berechnet. Im zweiten Schritt werden V und W mit einem fixen A-Wert berechnet (Hwang und Takane, 2004).