ANOVA / ANCOVA / 反復測定 ANOVAのための検定力

ANOVA, ANCOVA および反復測定ANOVAのための検定力

XLSTAT-Pro は， 分散分析(ANOVA)，反復測定分散分析，および共分散分析(ANCOVA)を適用するツールを提供している．XLSTAT-Power は，これらのモデルに関連した検出力を推定または必要なオブザベーションの数を計算する．

統計的検定を用いて仮説を検定する際，なすべき複数の決定がある：

• 帰無仮説  H₀ および対立仮説 H_a．
• 使用する統計的検定．
• 第1種の過誤（type I error，アルファ過誤ともいう）．帰無仮説を棄却したが，それが真である場合．これは各検定で事前に設定され，5%である．

第2種の過誤（ type II error またはベータ過誤）は，あまり検討されないが，とても重要である．実は，これは帰無仮説が偽のときにそれを棄却しない確率を表している．我々はこれを前もって固定できないが，モデルの他のパラメータに基づいて，これを最小化しようとすることはできる．検定の検出力が1 - ベータとして計算され，帰無仮説が偽のときにそれを棄却する確率を表す．

したがって，我々は検定の検出力を最大化したい．XLSTAT-Power モジュールは，他のパラメータが既知であるときの検出力（およびベータ）計算する．任意の検出力について，その検出力に達するために必要な標本サイズを計算することもできる．

統計的検出力の計算は，通常，実験を実施する前に行われる．検出力の計算の主な応用は，実験を適切に実施するために必要なオブザベーションを推定することである．XLSTAT は次の検定ができる:

• 一元配置ANOVA またはより多くの固定因子または交互作用のある場合，さらに ANCOVAの場合In :
  • H₀: 検定される因子のグループの平均が等しい．
  • H_a: 少なくとも1つの平均が他と異なる．
• 被験者内因子での反復測定ANOVA の場合:
  • H₀: 被験者内因子のグループの平均が等しい．
  • H_a: 少なくとも1つの平均が他と異なる．
• 被験者間因子の反復測定ANOVA の場合:
  • H₀: 被験者間因子のグループの平均が等しい．
  • H_a: 少なくとも1つの平均が他と異なる．
• 被験者内因子と被験者間因子の間の交互作用での反復測定ANOVA の場合:
  • H₀: 被験者内-間のグループの平均が等しい．
  • H_a: 少なくとも1つの平均が他と異なる．

ANOVA, ANCOVA および反復測定ANOVAの効果量

このコンセプトは，検出力の計算でとても重要である． Cohen (1988) がこのコンセプトを開発した．効果量は，どのようなパラメータの投入もなしに，検定される効果が弱いか強いかを示して，検定の検出力を計算できるようにする量である．ANOVA-タイプ・モデルの文脈では，効果量の大きさの慣例は：

• f=0.1,  効果が小さい．
• f=0.25, 効果が中ぐらい．
• f=0.4, 効果が強い．

XLSTAT-Power は効果量を直接入力できるが，効果量を計算することを助けるモデルのパラメータを入力することもできる．計算の詳細は以下のとおりである：

• 分散を使用: 効果の大きさを定義するためにモデルの分散を使用できる．ただし var_explained は検定したい説明変数によって説明された分散で， var_error は誤差または残差の分である．次式を用いる： f = √var_explained / var_error
• 直接アプローチを使用: 調査される因子によって説明された分散とモデルの合計分散の間の比である eta² の推定値を入力する．eta²の詳細は，Cohen (1988, chap. 8.2)を参照．次式を用いる： f = √η² / (1 – η²)
• 各グループの平均を使用（一元配置 ANOVA または被験者内反復測定 ANOVAの場合）: 各グループの平均によるベクトルを選択する．さまざまなサイズのグループを持つことも可能で，その場合，さまざまなサイズでベクトルも選択しなければならない．（標準オプションは，すべてのグループが等しいサイズであることを仮定している）．次式を用いる： f = √Σ_i (m_i - m)² / k / SD_intra 　ただし m_i はグループ iの平均，m は平均の平均， k はグループの数， SD_intra はグループ内標準偏差である．
• ANCOVA が実行された場合，量的予測変数を考慮に入れるために，ある項がモデルに追加されなければならない．そして，効果量に f = √1 / (1 – ρ²)が乗じられる．ここでρ² は 量的予測変数に関連する平方重相関係数の理論値である．

効果量が定義されると，検出力と必要な標本サイズが計算される．

ANOVA, ANCOVA および反復測定 ANOVAの検出力の計算

検定の検出力は，通常，関連する非心分布を用いて得られる．この場合では，我々は検出力を計算するためにフィッシャー非心分布を使用する．

まずいくつかの表記法を導入する：

• NbGroup: 検定したいグループの数．
• N: 標本数．
• NumeratorDF: F 分布の分子の自由度（詳細は以下を参照）．
• NbRep:反復測定 ANOVAの反復（測定）の数．
• ρ: 反復測定ANOVAの測定値間の相関．
• ε: Geisser-Greenhouse 非球形補正．
• NbPred: ANCOVA モデル中の予測変数の数．

各手法について，1番目と2番目の自由度と非心パラメータを与える：

• 1元配置: DF1 = NbGroup – 1; DF2 = N – NbGroup; NCP = f²N
• 固定因子と交互作用によるons: DF1 = NumeratorDF; DF2 = N – NbGroup; NCP = f²N
• 反復測定 ANOVA 被験者内因子: DF1 = NbRep – 1; DF2 = (N – NbGroup)(NbRep – 1); NCP = f²*N*NbRep*ε / (1 – ρ)
• 反復測定 ANOVA 被験者間因子tor: DF1 = NbGroup – 1; DF2 = N – NbGroup; NCP = f²*N*NbRep / [1 + ρ(NbRep – 1)]
• 反復測定ANOVA 被験者内因子と被験者間因子の間の交互作用: DF1 = (NbRep – 1)(NbGroup – 1); DF2 = (N – NbGroup)(NbRep – 1); NCP = f²*N*NbRep*ε / (1 – ρ)
• ANCOVA: DF1 = NumeratorDF; DF2 = N – NbGroup – NbPred – 1; NCP = f²N

検出力を考慮に入れたANOVA, ANCOVA および反復測定ANOVA のための標本サイズの計算

必要なオブザベーションの数を計算するには，XLSTATはある関数の根を探索するアルゴリズムを使用する．それはVan Wijngaarden-Dekker-Brent アルゴリズム(Brent, 1973)と呼ばれる．このアルゴリズムは，関数の導関数が未知の場合に適応する．それは，次式の根を見つけようとする：

検出力 (N) – 期待検出力

そして，検定ができるかぎり要求される検出力に近い検出力を持つようなサイズ N を得る．

ANOVA, ANCOVA および反復測定ANOVAの分子の自由度

固定因子と交互作用によるANOVAまたはANCOVAの枠組みでは； XLSTAT-Power は非心 F 分布の分子の自由度の数を入力することを提案する．これは，たくさんのモデルを検定できて，分子の自由度を計算することは，あらゆる種類のモデルを検定する簡単な方法であるということに起因する．実践的には，固定因子の場合，分子の自由度は，因子に関連するグループの数マイナス1に等しい．交互作用が調査される場合，それは交互作用中に含まれる各因子に関連する自由度の積に等しい．

3-因子モデルA (2 グループ)，B (3 グループ)，C (3 グループ)， 3つの二次交互作用 A*B，A*C ，B*C および1つの三次交互作用A*B*C があると仮定する． 3*3*2=18 グループとなる．主効果 Aを検定するには： NbGroups=18 および NumeratorDF=(2-1)=1を用いる．交互作用，たとえばA*Bを検定するには，NbGroups=18 および NumeratorDF=(2-1)(3-1)=2を用いる． 三次交互作用 (A*B*C)を検定したい場合， NbGroups=18 およびNumeratorDF=(2-1)(3-1)(3-1)=4を用いる．ANCOVAの場合も，計算は同様となる．