一般構造化成分分析 (GSCA)

一般構造化成分分析(GSCA :Generalized Structured Component Analysis)は、コンポーネント・ベースの構造方程式モデルの手法で、PLSパス・モデリングのように使用できる。

この手法は、Hwang と Takane (2011)によって提案され、 代替最小2乗アルゴリズム(ALS:Alternating Least Square algorithm)と呼ぶアルゴリズムを用いて、グローバル関数を最適化することができる。

GSCA は、成分分析の伝統に沿っている。 それは、PLStと同様に、因子の代わりに成分を使う。ただし、PLSとは異なり、GSCAは全体の最小2乗最適化基準を提供する。それは、モデル・パラメータの推定を得るために絶えず最小化される。GSCAは、PLSの利点(すなわち、分布の仮定に制限が少ない、不適解がない、独特な成分スコア推定)をすべて完全に保持しながら、モデル適合の全体の測度を実装する。さらに、GSCAは、PLSに比べて、より多様なパス解析を取り扱う。

Zは観察変数のN × J の行列を示すこととする。Z が列方向に中心化され、単位分散で尺度化されていると仮定する。すると、GSCA のモデルは、次のように表記できる。

ZV = ZWA + E,

P = GA + E,    (1)

ここで P = ZV, および G = ZW である。(1)では、P は、すべての内生観察変数と合成変数の N × T の行列で、 G は、すべての外生観察変数と合成変数の N × D の行列で、 V は、内生変数に関係づけられた成分重みの J × T の行列で、 W は、外生変数の成分重みのJ × D の行列で、 A は、成分の観察変数への成分負荷量の行列(Cと表記)と、成分間のパス係数の行列(Bと表記)からなる D × T の超行列で、すなわち、A = [C, B]で、E は残差の行列である。

我々は、残差の平方和 E = ZV - ZWA = P- GAができるだけ小さくなるように、未知のパラメータV、W、Aを推定する。 この量は、次のようにV、W、Aによって最小化される。

f = SS(ZV - ZWA)

                    = SS(P- GA),                (2)

ここで SS(X) = trace(X’X)である。 P や G での成分は、識別の目的で正規化されている。

V、W、Aはセロまたはあらゆる固定要素を含むことができるので、我々は (2)を解析的に解くことができない。 その代わりに、我々は、(2)を最小化するために代替最小2乗 (ALS) アルゴリズム (de Leeuw, Young, & Takane, 1976) を開発する。一般的に、ALSは、固定点が最適化されるべき関数の定留(累積)点であるような、 FPアルゴリズムの特殊例とみなすことができる。

提案されたALS アルゴリズムは、2つのステップからなる:最初のステップで、固定されたVとWでAが更新される。2番目のステップでは、V と W が固定されたAで更新される。 (Hwang and Takane, 2004)