フリードマン検定

Friedman 検定の原理

Friedman 検定 は,正規性の仮定が採用できない場合の2因子による ANOVA に対するノン・パラメトリックの代替である.これは, サイズ nのk個の対応のある標本(k≥2)が,同じ母集団から得られたか,または位置パラメータに関して同一の特性を持つ母集団から得られたかを検定するために用いられる. 2因子によるANOVAでよくこの状況があるので,しばしばあるように,我々はときどき k個の処理と n 個のブロックを持つFriedman 検定について述べる

同じブロックに関するk個の処理に対応するk子の対応のある標本がある場合,処理間の差を説明するために,Friedmanの検定を使用する.

Friedman検定の定義

Mi が標本 iの位置パラメータであるとすると,Friedman検定の帰無仮説H0と対立仮説 Ha は以下となる

  • H0: M1 = M2 = … = Mk 
  • Ha: Mi ≠ Mjとなるような少なくと1つの対応(i, j)がある 

n を k 個の対応のある標本のサイズであるとする. Friedman 検定から得られるQ 統計量は,次式で与えられる:

Q = 12/(nk(k+1)) Σi=1..k [Ri²-3n(k+1)]

ここで Ri は標本 iの順位の合計である

同値がある場合,平均順位が対応するオブザベーションに使用される.そして, Q は次式で与えられる

Qの任意の値に関するp-値は,自由度(k-1) を持つカイ2乗分布によって近似できる.この近似は, kn が 30より大きいときに信頼でき,品質は同値の数に依存する.Q に関するp-値は, (k = 3, n ≤ 15) および (k = 4, n ≤ 8)について集計されている (Lehmann 1975, Hollander and Wolfe 1999).

仮説 H0 が棄却されなければならないようなp値の場合,少なくとも1つの標本(グループ)が他とは異なる.H0の棄却に関与する標本を識別するには,多重比較手順が使用できる.

Friedman t検定での多重比較

Friedman検定では, 1つの多重比較法が利用できる.Nemenyi method (1963).この手法は,Dunnのそれに似ているが,データが対応しているという事実を考慮に入れる.