デミング回帰

Deming (1943) は,測定誤差がXとYで表現されると仮定する2つの測定手法(たとえば、検体の濃度の測定のための2つの手法)を比較できる回帰手法を開発した.それは,この応用には不適切な従来の線形回帰の仮定を克服する.復習として,OLS回帰の仮定は,

  • モデル y(i)=a+b.x(i)+e(i) における説明変数 X は,決定論的である(測定誤差がない),
  • 従属変数 Y は,期待値 aX を持つ正規分布に従う,
  • 測定誤差の分散は一定である.

さらに,極値が強くモデルに影響する.

Deming は,これらの仮定を克服する手法を提案した: 2つの変数が(測定を表現して)ランダム部を持つと仮定される.その分布は正規分布でなければならない.そして,次のように定義する:

  • y(i)=y(i)*+e(i)
  • x(i)=x(i)*+ η(i)

有効データ (yi, xi) が,誤差 εとη が独立である“真” の値 (y(i)*, x(i)*) の誤測定されたオブザベーションであるとする.それらの分散の比率が,既知であると仮定する:

  • d=s2(e)/s2(h)

実践的には,x と y の分散はしばしば未知で,それはdの推定を複雑にするが,xとyの測定手法が同じであるとき,それらは,おそらくd=1 になる.XLSTAT-Life では,ユーザーがdを定義できる.

我々は,残差の重み付き2乗和を最小化するような “ベスト・フィット” の線 y* = a + b x* を探索する.

ここで, h と ε は正規分布に従う.デミング法は,a 係数と b 係数,およびこれらの値の信頼区間を計算できる.これらの値の調査が,手法の比較を助ける.それらがとても近いならば,b は1 に近く, a は 0 に近い.

デミング回帰は,2つの形式を持つ:

  • 単純デミング回帰: 誤差項が一定で分散の間の比が選択される(デフォルトでは1になっている).推定は,式を直接用いてとても簡単にできる (Deming, 1943).
  • 重み付きデミング回帰: 実験の反復が存在する場合,重み付きデミング回帰は,誤差項が一定ではないが,比例的であると仮定する.各反復内で,係数を推定するために,平均または最初の実験を考慮できる.その場合,直接の推定はできない.繰り返し法が使用される(Linnet, 1990).

切片とスロープ係数の信頼区間は,計算が複雑である. XLSTAT-Life は,Linnet (1993)で述べられているとおり,信頼区間を計算するために,ジャックナイフ・アプローチを使用する.