デミング回帰

Deming (1943) は，測定誤差がXとYで表現されると仮定する2つの測定手法（たとえば、検体の濃度の測定のための2つの手法）を比較できる回帰手法を開発した．それは，この応用には不適切な従来の線形回帰の仮定を克服する．復習として，OLS回帰の仮定は，

• モデル y(i)=a+b.x(i)+e(i) における説明変数 X は，決定論的である（測定誤差がない），
• 従属変数 Y は，期待値 aX を持つ正規分布に従う，
• 測定誤差の分散は一定である．

さらに，極値が強くモデルに影響する．

Deming は，これらの仮定を克服する手法を提案した： 2つの変数が（測定を表現して）ランダム部を持つと仮定される．その分布は正規分布でなければならない．そして，次のように定義する：

• y(i)=y(i)*+e(i)
• x(i)=x(i)*+ η(i)

有効データ (yi, xi) が，誤差 εとη が独立である“真” の値 (y(i)*, x(i)*) の誤測定されたオブザベーションであるとする．それらの分散の比率が，既知であると仮定する：

• d=s²(e)/s²(h)

実践的には，x と y の分散はしばしば未知で，それはdの推定を複雑にするが，xとyの測定手法が同じであるとき，それらは，おそらくd=1 になる．XLSTAT-Life では，ユーザーがdを定義できる．

我々は，残差の重み付き2乗和を最小化するような “ベスト・フィット” の線 y* = a + b x* を探索する．

ここで， h と ε は正規分布に従う．デミング法は，a 係数と b 係数，およびこれらの値の信頼区間を計算できる．これらの値の調査が，手法の比較を助ける．それらがとても近いならば，b は1 に近く， a は 0 に近い．

デミング回帰は，2つの形式を持つ：

• 単純デミング回帰： 誤差項が一定で分散の間の比が選択される（デフォルトでは1になっている）．推定は，式を直接用いてとても簡単にできる (Deming, 1943)．
• 重み付きデミング回帰： 実験の反復が存在する場合，重み付きデミング回帰は，誤差項が一定ではないが，比例的であると仮定する．各反復内で，係数を推定するために，平均または最初の実験を考慮できる．その場合，直接の推定はできない．繰り返し法が使用される(Linnet, 1990)．

切片とスロープ係数の信頼区間は，計算が複雑である． XLSTAT-Life は，Linnet (1993)で述べられているとおり，信頼区間を計算するために，ジャックナイフ・アプローチを使用する．