Cox モデルのための検定力

Coxモデルのための検定力

XLSTAT-Life  は，比例ハザード比 Cox 回帰モデルを適用するツールを提供する． XLSTAT-Powerは，このモデルに関連する検出力を推定するか，必要なオブザベーションの数を計算する．統計的検定を用いて仮説を検定する際，なすべき複数の決定がある：

• 帰無仮説  H₀ および対立仮説H_a.
• 使用する統計的検定．
• 第1種の過誤（type I error，アルファ過誤ともいう）．帰無仮説を棄却したが，それが真である場合．これは各検定で事前に設定され，5%である．

第2種の過誤（ type II error またはベータ過誤）は，あまり検討されないが，とても重要である．実は，これは帰無仮説が偽のときにそれを棄却しない確率を表している．我々はこれを前もって固定できないが，モデルの他のパラメータに基づいて，これを最小化しようとすることはできる．検定の検出力が1 - ベータとして計算され，帰無仮説が偽のときにそれを棄却する確率を表す．

したがって，我々は検定の検出力を最大化したい．XLSTAT-Power モジュールは，他のパラメータが既知であるときの検出力（およびベータ）計算する．任意の検出力について，その検出力に達するために必要な標本サイズを計算することもできる．

統計的検出力の計算は，通常，実験を実施する前に行われる．検出力の計算の主な応用は，実験を適切に実施するために必要なオブザベーションを推定することである．

The Cox モデルは，ある個体が区間の開始まで生存していたと仮定して，個体が短い観察区間内にイベント（たとえば死亡）を経験する確率であるハザード関数に基づく． したがって，それは時間 tに死亡するリスクとして解釈できる．ハザード関数（  l(t,X)で表記)は，以下の式を用いて推定できる： λ_(t,X) = λ_{0 (t)} exp(β₁X₁ + … + (β_pX_p) 第1項は時間のみに従属し，第2項はXに従属する．我々は第2項のみに興味がある． すべてのβ_i が0に等しいなら，ハザード係数は存在しない． Coxモデルの目的は，β_iとハザード関数の間の関係に注目することである．XLSTAT-Power で使用される検定は， β₁ 係数が0に等しという帰無仮説に基づいている． その意味は， X₁ 共変量がハザード係数ではないということである．

検定されるべき仮説は：

• H₀: β₁ = 0
• H_a: β_i ≠ 0

検出力は，正規分布に従う近似を用いて計算される．この近似で使用される他のパラメータは：打ち切られない個体の割合であるイベント比，X₁の標準偏差，B(log(ハザード比)) として知られるβ₁の期待値，およびX₁とCoxモデル中の他の共変量との間の回帰によって得られる R²．

検定力を考慮に入れたCox モデルのための標本サイズの計算

必要なオブザベーションの数を計算するには，XLSTATはある関数の根を探索するアルゴリズムを使用する．それはVan Wijngaarden-Dekker-Brent アルゴリズム(Brent, 1973)と呼ばれる．このアルゴリズムは，関数の導関数が未知の場合に適応する．それは，次式の根を見つけようとする：

検出力 (N) – 期待検出力

そして，検定ができるかぎり要求される検出力に近い検出力を持つようなサイズ N を得る．

Cox モデルのBの計算

B(log(ハザード比)) は，次式の係数β₁ の推定である: log(λ_(t|X) / λ_{0 (t)}) = β₁X₁ + … + β_kX_k
β₁ は， X1 が1ユニット増えたときのハザード比の対数での変化である（残りのすべての説明変数は一定）．我々は対数の代わりにハザード比を使用できる． 2のハザード比では， B=ln(2)=0.693を用いる．