Comment effectuer une Analyse en Coordonnées Principales avec XLSTAT ?

L'Analyse en Coordonnées Principales (Principal Coordinates Analysis ou PCoA en anglais) est une méthode qui permet de représenter sur un graphique à 2 ou 3 dimensions, des objets décrits par une matrice carrée contenant des indices de ressemblance entre ces mêmes objets. Cette méthode est due à Gower (1966). Elle est parfois appelée MDS métrique (MDS: Mutidimensional scaling) par opposition au MDS (ou MDS non métrique). Les deux méthodes ont le même objectif et donnent des résultats très proches si les ressemblances de la matrice carrée sont des distances métriques, comme la distance euclidienne, ou si elles sont proches de l'être.

Une feuille Excel contenant à la fois les données et les résultats peut-être téléchargée en cliquant ici. Les données proviennent d'une enquête menée auprès de 10 consommateurs, auxquels on a demandé de noter (notes comprises entre 1 et 5) cinq barres chocolatées, dont un seul est sur le marché (produit P1).

Ces données sont aussi utilisées dans le tutoriel sur le MDS. Cela nous permettra de comparer les méthodes. Dans le tutoriel sur le MDS, on montre comment obtenir, à partir de ces données, une matrice de distances euclidiennes. Nous partons ici du tableau des distances euclidiennes. Notre but est, comme avec le MDS, de représenter les produits sur une carte à 2 dimensions.

Pour lancer l'Analyse en Coordonnées Principales, cliquez sur le menu XLSTAT/XLSTAT-ADA/Analyse en Coordonnées Principales, ou cliquez sur le bouton correspondant de la barre "XLSTAT-ADA" (voir ci-dessous).

Une fois le bouton cliqué, la boîte de dialogue apparaît. Vous pouvez alors sélectionner les données sur la feuille Excel puis choisir les options adéquates comme il est montré ci-dessous. Les options de l'onglet "Options" sont laissées inchangées, sachant que dans, le cas de distances euclidiennes, il ne peut y avoir de valeurs propres négatives.

Le graphique suivant est créé à partir des coordonnées principales et permet de visualiser sur un graphique en deux dimensions les différents produits.

Le tableau des cosinus présenté dans le rapport permet d'éviter une erreur d'interprétation : on voit que les cosinus pour P1 et P3 sont très faibles sur F1 et F2, ce qui indique que ces points sont éloignés du plan F1/F2. En regardant le tableau des coordonnées on s'aperçoit que P1 et P3 qui sont proches sur le graphique sont en réalité éloignés. La visualisation en 3 dimensions avec XLSTAT-3DPlot permet d'avoir une visualisation de meilleure qualité.

Il est intéressant de comparer le résultat de la PCoA à celui du MDS. Si la représentation en 3 dimensions est quasi identique, celle en 2 dimensions est très différente. Cela s'explique par la difference de méthode et de critères optimisés.

Pour minimiser le stress, Le MDS permet une déformation de minimiser le critère, alors que la PCoA (ou l'ACP) ne permet que des rotations et des projections : avec l'ACP et la PCoA, la visualisation en 2D est une projection de la visualisation en 3D, sur un espace 2D qui préserve autant que possible la variance. Avec le MDS, la vue 2D est la déformation de la configuration en 3D, telle que les distances entre les objets soient respectées autant que possible. Les deux méthodes sont très différentes même si elles ont le même objectif. Utilisez le MDS if vous voulez une carte où les distances et leur classement sont préservée autant que faire se peut. Utilisez la PCoA si vous voulez une carte qui ne déforme pas la réalité et qui simplement la pivote/projette. Pour éviter de mauvaises interprétations, en utilisant les cosinus carrés, la PCoA vous donne un moyen de vérifier si les points sont vraiment proches quand ils le semblent. La solution de la PCoA est unique alors que le MDS peut avoir plusieurs mnima locaux.

Remarque: une ACP non normée sur la configuration MDS en 3 dimensions aboutit à une représentation en 2 dimensions très voisine de celle obtenue avec la PCoA.

Cliquez ici pour accéder à d'autres tutoriels.