Test non-paramétrique sur k échantillons appariés : test de Friedman

Quand utiliser le test de Friedman ?

Le test de Friedman est un test non paramétrique à utiliser lorsque vous êtes en présence de k échantillons appariés correspondant à k traitements portant sur les mêmes blocs, afin de mettre en évidence une différence entre les traitements.

Principe du test de Friedman

Le test de Friedman est une alternative non paramétrique à l'ANOVA à deux facteurs dans le cas où l'hypothèse de normalité n'est pas acceptable. Il permet de tester si k échantillons appariés (k>2) de taille n, proviennent de la même population, ou de populations ayant des caractéristiques identiques, au sens d'un paramètre de position. Le contexte étant souvent celui de l'ANOVA à deux facteurs, on parle parfois de test de Friedman à k traitements et n blocs.

Si on désigne par M_i le paramètre de position de l'échantillon i, les hypothèses nulle H₀ et alternative H_a du test de Friedman sont les suivantes :

• H₀ : M₁ = M₂ = … = M_k
• H_a : il existe au moins un couple (i, j) tel que M_i ≠ M_j

Soit n la taille des k échantillons appariés. La statistique Q du test de Friedman est donnée par :

Q = 12/(nk(k+1)) Σ_i=1..k [R_i²-3n(k+1)]

où R_i est la somme des rangs pour l'échantillon i. Lorsqu'il y a des ex aequo, on utilise les rangs moyens pour les observations correspondantes.

La p-value associée à une valeur donnée de Q peut être approximée par une loi du Khi² à k-1 degrés de liberté. Cette approximation est fiable lorsque kn est plus grand que 30, la qualité dépendant aussi du nombre d'ex aequo. Les p-values associées à Q ont été tabulées pour le cas où (k = 3, n = 15) et (k = 4, n = 8) (Lehmann 1975, Hollander et Wolfe 1999).

Pour le test de Friedman, une méthode de comparaisons multiples est proposée : la méthode Nemenyi (1963). Cette méthode est proche de celle de Dunn, mais prend en compte l'appariement des données.