Régression non-linéaire (Genfit)

Quand utiliser la régression non linéaire

La régression non linéaire permet de modéliser des phénomènes complexes n'entrant pas dans le cadre du modèle linéaire. XLSTAT propose des fonctions préprogrammées parmi lesquelles l'utilisateur pourra éventuellement trouver le modèle décrivant le phénomène à modéliser. Lorsque le modèle recherché n'est pas disponible, l'utilisateur a la possibilité de définir un nouveau modèle et de l'ajouter à sa librairie personnelle. Pour améliorer la vitesse et la fiabilité des calculs, il est recommandé d'ajouter les dérivées de la fonction par rapport à chacun des paramètres du modèle.

Calcul de la régression non linéaire dans XLSTAT

L’outil de régression non linéaire de XLSTAT permet d'ajuster des données à n'importe quelle fonction linéaire ou non linéaire, en estimant les paramètres de la fonction pour un critère d'optimalité (somme des moindres carrés). Lorsque cela est possible (fonctions préprogrammées, ou fonctions dont les dérivées premières ont été entrées par l'utilisateur) l'algorithme de Levenberg-Marquardt est utilisé pour estimer les paramètres du modèle sélectionné. Dans le cas où les dérivées ne sont pas disponibles un algorithme plus complexe mais efficace est utilisé. Cet algorithme ne permet cependant pas d'obtenir les écart-types des estimateurs des paramètres. Il est possible de définir des valeurs de départ pour les paramètres ainsi que des bornes. Les conditions d'arrêt, soit un nombre maximal d’itération ou la convergence de la somme des carrés des erreurs (SCE).

Ajouter une fonction à la librairie des fonctions définies par l'utilisateur

Les fonctions ajoutées à la librairie doivent suivre la syntaxe suivante :

• Les paramètres doivent être représentés sous la forme pr1, pr2, …
• Les variables explicatives doivent être représentés sous la forme X1, X2, …
• Les fonctions Excel peuvent être utilisées : Exp(), Sin(), Pi(), Max()…
• Exemple de fonction : pr1 * Exp( pr2 + pr3 * X1 + pr4 * X2 )

Fichier contenant les définitions de fonction

La librairie des fonctions utilisateur est enregistrée dans le fichier Models.txt, dans le répertoire utilisateur, tel qu'il est défini lors de l'installation ou au travers de la boîte des options de XLSTAT. Cette librairie est construite de la façon suivante :

• ligne 1 : nombre de fonctions définies par l'utilisateur
• ligne 2 : N1= nombre de paramètres intervenant dans la fonction 1
• ligne 3 : définition de la fonction 1
• lignes 4 à (3 + N1) : définition des dérivées de la fonction 1
• ligne 4+N1 : N2= nombre de paramètres intervenant dans la fonction 2
• ligne 5+N1 : définition de la fonction 2
• …

Lorsque les dérivées sont inconnues, « Unknown » remplace chaque dérivée de la fonction. Vous pouvez modifier manuellement les éléments de ce fichier mais veillez à ne pas introduire d'erreur.

Résultats de la régression non linéaire

• Coefficients d'ajustement : dans ce tableau sont affichées les statistiques suivantes :
  • le nombre d'observations ;
  • le nombre de degrés de liberté (DDL) ;
  • le coefficient de détermination R² ;
  • la somme des carrés des erreurs (ou résidus) du modèle (SCE) ;
  • la moyenne des carrés des erreurs (ou résidus) du modèle (MCE) ;
  • la racine de la moyenne des carrés des erreurs (ou résidus) du modèle (RMCE) ;
• Paramètres du modèle : ce tableau donne pour chaque paramètre sa valeur après ajustement du modèle. Dans le cas des fonctions préprogrammées, ou des fonctions définies par l'utilisateur lorsque les dérivées par rapport aux paramètres ont été entrées, les écarts-types des estimateurs sont calculés.
• Prédictions et résidus : ce tableau donne pour chaque observation les données de départ, la valeur prédite par le modèle et les résidus.
• Graphiques : Si une seule variable quantitative explicative a été sélectionnée le premier graphique représente les données et la courbe correspondant à la fonction choisie. Le second graphique affiché est le diagramme en bâtons des résidus.

Tutoriels

• Régression non linéaire avec XLSTAT
• Régression non linéaire multiple avec XLSTAT