Analyse Factorielle Multiple (AFM)

Utilités de l'Analyse Factorielle Multiple

L'Analyse Factorielle Multiple (AFM), permet d'analyser simultanément plusieurs tableaux de variables, et d'obtenir des résultats, notamment des représentations graphiques, qui permettent d'étudier la relation entre les observations, les variables et les tableaux. A l'intérieur d'un tableau les variables doivent être de même nature (quantitative ou qualitative), mais les tableaux peuvent être de différents types.

Principes de l'Analyse Factorielle Multiple

L'Analyse Factorielle Multiple est une synthèse de l'ACP (Analyse en Composantes Principales) et l'ACM (Analyse des Correspondances Multiples) qu'elle permet de généraliser à des variables hétérogènes. La méthodologie de l'AFM se décompose en deux étapes :

1. On réalise successivement pour chacun des tableaux une ACP ou une ACM en fonction de la nature des variables. On conserve la valeur de la première valeur propre de chacune des analyses pour pondérer ensuite les différents tableaux dans la seconde partie de l'analyse.
2. On réalise ensuite une ACP pondérée sur les colonnes de l'ensemble des tableaux, sachant que les tableaux de variables qualitatives sont transformés en tableaux disjonctifs complets, chacune des indicatrices des tableaux disjonctifs ayant un poids fonction de la fréquence de la modalité concernée. La pondération des tableaux permet d'éviter que les tableaux comprenant plus de variables ne pèsent trop dans l'analyse.

L'Analyse Factorielle Multiple s'avère très utile pour analyser des enquêtes lorsque les questions peuvent être regroupées par thèmes, ou lorsque les mêmes questions sont posées à plusieurs intervalles de temps.

Avantages de l'Analyse Factorielle Multiple

L'originalité première de l'Analyse Factorielle Multiple vient de ce qu'elle permet une visualisation dans un espace à deux ou trois dimensions, des tableaux (chaque tableau étant représenté par un point), des variables (dans un cercle des corrélations), des facteurs principaux des analyses de la première phase, et des individus. Par ailleurs, on peut étudier l'impact des autres tableaux sur une observation en visualisant simultanément l'observation décrite par l'ensemble des variables, et par seulement chacun des tableaux. On parle alors de nuages partiels.

Remarque 1 : comme en ACP les variables qualitatives sont représentées par le barycentre associé à chacune des modalités sur le graphique des observations. Remarque 2 : une AFM réalisée sur k tableaux contenant chacun une variable qualitative est équivalente à une ACM.

Résultats de l'Analyse Factorielle Multiple

Tout d’abord, les résultats des analyses séparées pour chacun des tableaux sont affichés. Pour les tableaux de variables quantitatives, les résultats affichés sont identiques à ceux affichés après une ACP. Pour les tableaux de variables qualitatives, les résultats affichés sont identiques à ceux affichés après une ACM.

A la suite des résultats des analyses séparées sont affichés les résultats de seconde phase de l'Analyse Factorielle Multiple.

• Valeurs propres : les valeurs propres et le graphique (scree plot) correspondant sont affichés. Le nombre de valeurs propres affichées est égal au nombre de valeurs propres non nulles.
• Vecteurs propres : les vecteurs propres issus de la décomposition spectrale sont ensuite affichés. Ces vecteurs prennent en compte les poids des variables utilisés dans l'AFM.
• Les coordonnées des tableaux sont affichées et utilisées pour créer les graphiques des tableaux. Ces derniers permettent notamment de visualiser la distance entre les tableaux. Les coordonnées des tableaux supplémentaires sont affichées dans la seconde partie du tableau.
• Contributions (%) : les contributions sont une aide à l'interprétation. Les tableaux influençant le plus la construction des axes sont deux dont les contributions sont les plus élevées.
• Cosinus carrés : comme pour les autres méthodes factorielles, l'analyse des cosinus carrés permet d'éviter des erreurs d'interprétation dues à des effets de projection. Si les cosinus carrés associés aux axes utilisés sur un graphique sont faibles, on évitera d'interpréter la position du tableau en question.
• Coefficients Lg : les coefficients Lg de liaison entre les tableaux permettent de mesurer à quel point les tableaux sont liés deux à deux. La liaison sera d'autant plus forte que l'ensemble des variables d'un tableau seront liées à celle du second.
• Coefficients RV : les coefficients RV de liaison entre les tableaux sont une autre mesure de la liaison entre les tableaux. Les coefficients RV dont la valeur est comprise entre 0 et 1, correspondent à une normalisation des coefficients Lg.

Suivent ensuite les résultats concernant les variables quantitatives. Comme pour une ACP, les coordonnées des variables, leurs corrélations avec les facteurs, ainsi que les contributions et les cosinus carrés sont affichés.

Les coordonnées des axes partiels et notamment leur corrélations permettent de visualiser dans le nouvel espace le lien entre les facteurs générés par les analyses de la première phase de l'AFM, et ceux de la seconde étape.

Dans le cas où une rotation a été demandée, les résultats de la rotation sont affichés, avec en premier la matrice de rotation appliquée aux coordonnées des variables. Suivent ensuite les pourcentages modifiés de variabilité associés à chacun des axes concernés par la rotation. Dans les tableaux suivants sont affichées les coordonnées, les contributions et les cosinus des variables et des observations après rotation.

Les résultats concernant les observations sont ensuite affichés, comme pour une ACP (coordonnées, contributions en %, et cosinus carrés).

Enfin, les coordonnées des nuages partiels dans l'espace résultant de l'AFM sont affichées. Les nuages partiels correspondent aux projections des observations dans des espaces réduits aux dimensions de chacun des tableaux. La représentation des points des nuages partiels superposée avec celles des observations complètes permet de visualiser à la fois la diversité de l'information apportée par les différents tableaux pour une observation donnée, et de visualiser les distances relatives de deux observations en fonction des différents tableaux.

Tutoriels

• Analyse Factorielle Multiple (AFM) avec XLSTAT

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