Analyse descriptive et transformations de séries temporelles

Jeu de données pour l'analyse descriptive et transformations de séries temporelles

Une feuille Excel contenant les données et les résultats de cet exemple peut être téléchargée en cliquant ici.

Les données proviennent de [Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco], et correspondent au trafic aérien international (en milliers de passagers) de Janvier 1949 à Décembre 1960.

Le but est ici d'analyser la série chronologique avant de l'utiliser en mode prédictif dans un autre tutoriel.

On note sur ce graphique que le nombre de passagers a tendance à augmenter régulièrement, que l'on retrouve chaque année un cycle similaire, mais que les variations à l'intérieur d'une même année sont de plus en plus fortes. Afin de confirmer ces éléments nous allons analyser la série, puis la transformer pour valider nos hypothèses.

Paramétrer une analyse descriptive de séries temporelles

Pour activer la boîte de dialogue de l'analyse descriptive des séries chronologiques, lancez XLSTAT, puis sélectionnez la commande XLSTAT / XLSTAT-Time / Analyse descriptive, ou cliquez sur le bouton équivalent de la barre d'outils XLSTAT-Time.

Une fois que vous avez cliqué sur le bouton, la boîte de dialogue de l'analyse descriptive apparaît. Sélectionner alors les données sur la feuille Excel. La Séries à analyser correspond ici à la série "Passagers".

L'option Libellés des séries est activée parce que la première ligne des données sélectionnées correspond au nom de la variable.

Dans l'onglet options, sélectionnez le mode automatique.

Dans les onglets sorties et graphiques, activez l'option Autocorrélations partielles.

Les calculs commencent lorsque l'on a appuyé sur OK. Les résultats sont ensuite affichés.

Interprétation de l'analyse descriptives de séries chronologiques

Dans les premiers tableau sont affichées des statistiques générales.

Ensuite, un tableau donne les résultats des tests de normalité et de bruit blanc.

Le test de Jarque-Bera test est un test de normalité fondé sur les propriétés de symétrie et d’aplatissement de la loi normale. Plus la valeur du Khi’² est importante, moins l'hypothèse nulle de normalité des données est vraisemblable. Ici, la probabilité fournie, qui correspond à la probabilité de se tromper en rejetant l'hypothèse nulle, est proche de 0.01. Avec un seuil de signification alpha=0.05, on doit donc rejeter l'hypothèse nulle.

Les trois autres tests (Box-Pierce, Ljung-Box, McLeod-Li) sont calculés à différents pas de temps. Ils permettent de tester si les données pourraient provenir d'un bruit blanc ou non.

Ces tests s'appuie aussi sur la distribution du Khi’². Les résultats sont concordants, et indiquent que les données ne peuvent pas être supposées provenir d'un bruit blanc. Alors qu'un tri n'a aucune influence sur le test de Jarque-Bera, il en aurait un sur les autres tests qui sont adaptés aux séries temporelles.

Dans le tableau ci-dessous sont affichées les fonctions descriptives de la série chronologique, et les deux digrammes en bâtons correspondent à la fonction d'autocorrélation (FAC) et à la fonction d'autocorrélation partielle (FACP).

Les intervalles de confiance à 95% sont aussi affichés. Au niveau de l'autocorrélogramme, on identifie une autocorrélation d'ordre 1, ainsi qu'une saisonnalité de 12 mois.

Transformation d'une série chronologique

Dans le but d'augmenter la "normalité" des données, nous allons procéder à deux transformations successives:

• Nous voulons d'abord stabiliser la variance de la série,
• Puis, retirer les autocorrélations significatives par une différenciation de la série.

Cela peut être fait avec l'outil de transformation de séries temporelles.

Paramétrer la trransformation d'une série temporelle

Pour activer la boîte de dialogue correspondante, choisissez la commande XLSTAT / XLSTAT-Time / Transformation de séries, ou cliquez sur le bouton correspondant de la barre d'outils "XLSTAT-Time".

Sélectionnez les données sur la feuille Excel. La Variable à transformer correspond ici à la série "Passagers". Après avoir sélectionné les données, activez l'option Box-Cox dans l'onglet options. Nous pourrions demander une transformation avec optimisation du paramètre lambda, mais nous décidons de fixer lambda à 0, ce qui revient à faire une transformation logarithmique de la série. Cette transformation est souvent efficace lorsque l'on veut supprimer une variabilité croissante. Ensuite, pour supprimer la tendance croissante et la composante saisonnière, nous décidons de faire une différenciation de la série. La valeur de d est fixée à 1 pour retirer la tendance, et D et s sont fixés à 1 et 12 pour retirer la saisonnalité de douze mois.

Les calculs commencent lorsque l'on a appuyé sur OK.

Interprétation des résultats de la transformation de données temporelles

Les premiers résultats correspondent à la transformation de Box-Cox. On peut observer l'effet de la transformation sur le graphique ci-dessous.

Ensuite, les résultats de la différenciation sont affichés dans un tableau et sur un graphique. Nous constatons que la tendance a bien été retirée mais qu'il n'est pas encore évident que l'on ait affaire à un bruit blanc.

Analyse descriptive des données chronologiques transformées

Dans le but de vérifier si les transformations ont permis de rendre les séries semblables à un bruit blanc avec une distribution normale, nous devons réaliser une analyse descriptive de la série transformée.

Assurez-vous d'avoir bien sélectionner l'option supprimer les observations dans l'onglet données manquantes.

Le test de Jarque-Bera confirme que les séries sont plus proches d'une distribution normale, la probabilité étant remonté de 0.01 à 0.04. Mais les tests de bruit blanc semblent indiquer que les transformations n'ont pas été suffisantes. L'autocorrélogramme indique que nous avons retiré trop d'information pour les pas 1 et 12, car les coefficient sont maintenant négatifs. Par ailleurs, les pas de temps 3 et 9 semblent maintenant significatifs. Pour cette raison, il semble que des transformations additionnelles sont nécessaires.

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